Conversão de Taxa de Juros em Períodos Diferentes

Motivação:

Muitos já devem ter se deparado com a necessidade de realizar o cálculo de pagamentos mensais de empréstimos ou saber o montante futuro em um período diferente daquele estipulado pelo banco ou outro qualquer.

Ainda, aqueles usuários das calculadoras HP 12C financeiras, onde o cálculo de amortização/pagamentos/valor futuro etc, é realizado com uma taxa anual, e nós aqui no Brasil, normalmente utilizamos taxas mensais.

Sempre achei simplista aquela forma de apenas dividir o valor anual de uma taxa de juros por 12, para se obter a taxa mensal, ou multiplicar por 12 uma taxa mensal e se obter a taxa anual.

Ocorre que, apesar de ser válido e obter resultados próximos do correto, não é o correto.

Em termos numéricos:

Sabemos que se temos um valor de R$ 100 com uma taxa de 12% ao ano, significa que ao final de 1 ano, teremos R$ 112. Alguns usam a calculadora e apenas somam 12% e ela se encarrega de fazer a conta.

Mas para aqueles que preferem fazer a conta "na mão", sabemos que 12% (12 por cento ou por cem - 12 a cada 100) são R$ 12 do valor inicial de R$ 100 (R$ 100 x 12% = R$ 12). O valor final fica R$ 112.

Matematicamente, 12% = 0,12 (12/100 - doze por cem) e, 100 x 0,12 = 12.

Note que se eu quiser saber o valor final direto, eu faria o que segue:

100 x 0,12 + 100 = 112, ou melhor escrito, 100 x 1,12 = 112

Sabemos também, que no juros composto, no segundo ano teremos 112 x 1,12 = 125,44. E faremos as multiplicações por 1,12 para cada ano decorrido.

Tá bem, chega dessa parte básica, mas vamos usar o princípio logo mais.

Para quem ainda não sabia, é daí a fórmula do juro composto:

Vfuturo = Vpresente x (1 + taxa)^período

Vamos voltar ao assunto principal desta postagem. A conversão da taxa definida para um período de tempo, em outro período de tempo.

Voltemos à nossa taxa anual de 12% (Ta). Vamos descobrir qual a taxa mensal (Tm) que corresponde a esta taxa.

Aquele apressado diria: "12%/12meses=1%/mês" - mas é exatamente isto que quero desconstruir... :/

A taxa mensal deve ser aquela que, multiplicada por ela mesma por 12 vezes, dará o valor de 12%.

(1+Tm)^12=1,12 => Tm = 0.9488793%

Diferente do 1% imaginado anteriormente. E quanto daria a taxa anual, se utilizássemos 1%?

1,01^12=1.126825030 ou 12,68%. Parecido, mas não igual aos 12%.

Tá bem, resume isso!

(1+T1)^n1=(1+T2)^n2

T1 = (1+T2)^(n2/n1)-1

T1 - taxa convertida
n1 - período 1
T2 - taxa atual
n2 - período relativo à taxa atual

O que importa nesta fórmula, é a relação n2/n1. Para nosso exemplo no começo da postagem:
T1 = taxa mensal
T2 = taxa anual = 12%
n1 = 12 meses e n2 = 1 ano => n2/n1 = 1/12

Se fizer as contas, terá T1 = 0,009488793 = 0,95%

A ideia aqui é apresentar a forma correta, muito provavelmente mais como uma curiosidade. Não acredito que as pessoas no geral mudarão a forma simples de apenas dividir ou multiplicar a taxa que se tem, pelo período pretendido.

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