quinta-feira, 16 de junho de 2011

Cálculo de Volume - 02

No post Cálculo de Volume - 01, iniciamos o cálculo do volume de cilindros "deitados".

Agora, nesta postagem, vamos demonstrar mais um passo do processo de cálculo.


Estas são as duas situações prováveis, e mais adiante vou explicar porque estou colocando estas duas situações.


Eu utilizo um método que acho bastante simples e bem eficaz. A área que queremos encontrar (Asec) é simplesmente esta Área 1 (A1), representada à esquerda, menos a Área 2 (A2) à direita.
Nossa primeira equação então: Asec=A1-A2

Mas para calcular essas áreas, precisamos definir mais algumas variáveis.


São elas:
Alpha = ângulo de abertura (conforme desenho)
b = metade da largura da lâmina d'água

Vou calcular A1 primeiro que é mais fácil. Depois partimos para a área do triângulo (A2)

Todos (ou quase) sabemos que a área da circunferência se dá por Acirc=pi*R^2
O que proponho é uma regra de 3. Isso mesmo, simples assim.
Portanto:



Agora que temos o A1, precisamos do alpha para descobrir o seu valor.
Utilizando as fórmulas trigonométricas aprendidas no primeiro grau (seno, cosseno e tangente), podemos extrair o alpha e o b:


Vou utilizar o cosseno pois como o alpha varia de 0 a 180 graus, o seno tem um comportamento que não nos serve.

Como podemos observar na figura, o seno varia de 0 a +1 e voltando a 0 para ângulos de 0 a 180 graus. Com isto, apresenta um mesmo valor para ângulos do primeiro e do segundo quadrante, o que para nós não seria possível distinguir entre eles pelo Arco Seno.
Já o cosseno varia de +1 a -1 para ângulos de 0 a 180 graus.

Ex: O seno de 45 graus é o mesmo do seno de 135 graus, que é 0,707107
      O cosseno de 45 graus é 0,707107 e o de 135 graus é -0,707107

Trigonometrias a parte, a equação para alpha fica assim:


E, usando o Teorema de Pitágoras, temos o b:


Agora, só nos resta encontrar a área 2 (A2) que é a área do triangulo formado entre o nível d'água e o centro da circunferência.

Para isso, usaremos a área de triângulo:

A mágica aqui é que, quando o nível d'água passar do meio, o A2 vai ficar negativo e assim, somar-se ao A1.
Para h<R: Asec=A1-A2
Para h>R: Asec=A1-(-A2) => Asec=A1+A2

Pronto! A partir deste ponto, qualquer um é capaz de calcular o volume. Basta fazer A1-A2.


Mas queremos uma única fórmula para esse cálculo. Então vamos começar a substituir o alpha em A1 e o b em A2.
Temos:

Vale lembrar que o alpha está calculado em radianos. Para calculadora em graus, deve-se multiplicar o alpha com pi e dividir por 180 graus. A equação ficaria assim:


Bom galera. É isso.

Para acesso aos arquivos desta publicação: 01 calculo volume tanque.

Valeu

3 comentários:

  1. Bacana, professor sergio!
    O pascoale da matemática... hehehehe
    Agora, pra complicar um pouquinho (senao vc vai dizer que nao seria eu), no exemplo da garrafa do seu pai, o que fazemos quando há variação do comprimento (L), como no gargalo da garrafa? Melhor tirar o líquido e colocar em um balde, né???
    Abs... e parabens pelas postagens.

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  2. Tirando o exagero do professor, obrigado pelo elogio.
    Então, imaginando uma garrafa mais parecida com um cone, poderia tirar a área do fundo e a área do topo e usar a fórmula de tronco de pirâmide, mas como nenhuma garrafa é assim, melhor colocar num balde mesmo hehe.
    Se bem que nesse caso, caso vc consiga montar uma equação que desenhe o perfil da garrafa, pode usar a integral que tbm funga, mas daí é melhor chamar a Akemi, pq eu nao lembro como faz :)

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  3. Preciso de ajuda para calcular o volume do mesmo cilindro mas com duas calotas. Estou em angola como responsavel pelo controlo operacional e temos sempre muita dificuldade em aferir o gasoleo existente no deposito.
    Obg e agradeço resposta para jcarlosferreira@netcabo.Pt
    Muito obrigado

    Jose carlos ferreira

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